视锥相交测试

三态与保守性（22.14 节）

只区分"排除/可能在内"的简化测试会面临两难：把"可能在内"当作完全在内，会渲染整个子树而不再剔除；对子树每个节点再测排除又常常白费，因为大部分可能确实在内。所以即使不完美，尽量快速区分相交与包含通常值得。

对场景图剔除，快速分类只需保守：排除与包含之间只能错向包含（应排除的被包含只是浪费时间；应包含的被排除会导致渲染错误）；包含与相交之间两种误判都合法，只影响效率。保存父 BV 的相交状态是有用的优化；平面掩码和时间相干在 BVH 上效果明显，但对 SIMD 实现帮助较小。

通用推导思路：选一个相对 BV 固定的点 $\mathbf{p}$，让 BV 紧贴视锥外侧滑动一周，$\mathbf{p}$ 的轨迹围出一个外扩体积；紧贴内侧滑动则得到与原视锥平面平行的收缩视锥。$\mathbf{p}$ 在外扩体积之外则 BV 在视锥外，在收缩体积之内则 BV 完全在内，其余为相交。这些体积只取决于 BV 的形状和 $\mathbf{p}$ 的相对位置，与 BV 位置无关，所以任意位置的 BV 都可对同一组体积测试。

平面提取（22.14.1 节）

组合矩阵 $\mathbf{M}=\mathbf{P}\mathbf{V}$，点 $\mathbf{s}$（$s_w=1$）变换为 $\mathbf{t}=\mathbf{M}\mathbf{s}$，透视除法后得 $\mathbf{u}$。OpenGL 约定下视锥内的点满足 $-1\le u_i\le1$（DirectX 中 $0\le u_z\le1$）。以左平面为例：

其中 $\mathbf{m}_{i,}$ 表示 $\mathbf{M}$ 的第 $i$ 行。取负使法线朝外，六个平面为：

（近平面一行按 OpenGL 的 $-1\le u_z$ 推出；DirectX 的 $0\le u_z$ 需相应调整。）

视锥-球（22.14.2 节）

• 正交视锥是盒子，可用球-OBB 测试；再检查球心在各轴上距边界都大于半径即完全包含。
• 一般视锥：取球心为 $\mathbf{p}$。精确的外扩体积有圆角，为效率用"把每个平面沿法线外推 $r$"近似，收缩体积为每个平面内推 $r$。实现：对六个平面（正半空间朝外）计算球心有符号距离，任一大于 $r$ 则在外；全部小于 $-r$ 则在内；否则报告相交。球心落在尖角区域（圆角之外但在所有外推平面之内）时会把实际在外的球误报为相交——这是保守的，偶尔误报只多一些测试，加更多平面反而总体更慢。
• 分块着色中的瓦片视锥细长不对称，需要额外的球-盒测试（见 分块着色）；还有把视锥分成八分区、按物体中心所在八分区每次省去三个平面的方法。

视锥-盒（22.14.3 节）

误报：盒在视锥外但靠近角落时会被判为相交，对固定大小的地形网格等大物体更常见。Quílez 的补救是在报告相交后再用视锥角点测试盒的各平面（相当于 SAT 的第二部分），全部在某盒平面外则不相交；但这可能得不偿失——一个 GIS 渲染器中该优化每帧花 2 ms CPU 只省下几个绘制调用。Wihlidal 反其道而行，只用四个侧平面：游戏中近平面几乎被侧平面覆盖，远平面通常设置为能看到所有物体。也可以用 SAT 写一个通用的凸多面体测试，同时适用于线段、三角形、AABB、OBB、k-DOP、视锥和凸多面体的任意组合。