浮点误差与鲁棒光线求交

光线追踪中，交点的浮点误差会让次级光线（阴影、反射）从表面"下方"出发、错误地再次击中自身（自相交，俗称 shadow acne），或因偏移过大漏掉近处遮挡（漂浮的阴影）。PBRT 第 4 版 6.8 节不靠经验 "ray epsilon"，而是用前向误差分析为每个交点算出保守的误差盒，再沿法线把光线原点推出误差盒，做到可证明不自相交、偏移又极小。

问题与传统做法（6.8 引言）

常见做法是给新光线设最小参数 $t_{min}$ （固定 epsilon）。但若交点在表面下方而新光线很斜，错误的再相交可能发生在离原点相当远的地方，所以 $t_{min}$ 必须取得很大；取大了又会漏掉附近的真实相交，丢失阴影和反射细节（PBRT 4e 图 6.38、6.39）。

浮点误差的基本工具（6.8.1）

浮点格式本身见数值表示与浮点数；这里只列分析误差需要的结论：

IEEE 754 保证 $+,-,\times,\div,\sqrt{}$ 和 FMA 的结果等于精确结果舍入到最近的浮点数，所以 $a\oplus b\in(a+b)(1\pm\epsilon_m)$ 。32 位浮点在 $[2^e,2^{e+1})$ 内间距为 $2^{e-23}$ ，半个间距给出机器 epsilon $\epsilon_m=2^{-24}\approx5.96\times10^{-8}$ （本页验算）。乘除 2 的幂、 $x\ominus x$ 、 $1\otimes x$ 等都是精确的。
误差连乘 $(1\pm\epsilon_m)^n$ 用 Higham 的 $\gamma_n=\frac{n\epsilon_m}{1-n\epsilon_m}$ 界住（式 6.23），且商 $\frac{(1\pm\epsilon_m)^m}{(1\pm\epsilon_m)^n}$ 以 $\gamma_{m+n}$ 为界，不能约掉。
例： $((a\oplus b)\oplus c)\oplus d$ 的绝对误差界为 $|a+b|\gamma_3+|c|\gamma_2+|d|\gamma_1$ ； $(a\oplus b)\oplus(c\oplus d)$ 则约为 $3\epsilon_m(|a+b|+|c+d|)$ ，所以大量求和时从小到大排序更准。
乘法相对误差约 $(i+j+1)/2$ ulp，很温和；同号加法也温和；异号相加（或同号相减）在 $a\approx-b$ 时相对误差 $\approx\frac{2|a|\gamma}{|a+b|}$ ，即灾难性抵消。
两种做法：手工推导的前向误差分析（便宜、界更紧），以及让程序在运行时用区间类 Interval 跟踪误差的运行时误差分析（方便，但对点变换来说界宽 3–6 倍、慢约 6 倍）。
小工具：NextFloatUp/Down() 直接对位模式加减 1（正无穷不变， $-0$ 先跳到 $+0$ ）；按位重解释必须用 std::bit_cast（C++20，pbrt 自带 C++17 实现），指针强转和 union 读另一成员都是未定义行为。

各环节的误差处理

环节	问题	PBRT 的做法
光线-包围盒（6.8.2）	$t=(x-o_x)\otimes(1\oslash d_x)$ 误差 $\gamma_3	t
球/圆柱判别式（6.8.3）	球离射线原点远时 $b^2\approx4ac$ ，灾难性抵消，书中把单位球放在 400 单位外正交观察时边缘会漏交	改写为 $b^2-4ac=4a\big(r^2-\\|\mathbf o-\tfrac{b}{2a}\mathbf d\\|^2\big)$ ，消去误差最大的 $c$ ，再用 $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ ；改进后球可移到约 7,500 单位外仍正确。直接用 `DifferenceOfProducts()` 不行，因为 $a,b,c$ 自身已有误差
三角形（6.8.4）	共享边上的漏交	边函数 $(a\otimes b)\ominus(c\otimes d)$ 的符号在浮点下总是正确；为 0 时用双精度重算
交点位置（6.8.5）	$\mathbf o+t\mathbf d$ 的误差 $\gamma_1	o_x
变换（6.8.5）	物体空间求交再变回来	精确点误差 $\gamma_3(
新光线原点（6.8.6）	原点要在表面正确一侧	沿法线偏移 $d=
交点在原点后面（6.8.7）	舍入让真实 $t<0$ 的交点算成 $t>0$	平板测试的 $t$ 符号天然正确；二次曲面用区间判断；三角形推导 $\delta_z,\delta_x,\delta_y,\delta_e,\delta_t$ ，要求 $\sum e_iz_i>\delta_t$ （场景尺度 ±10 时约 $10^{-7}$ ）；双线性面片用基于输入量级的 epsilon

阴影光线到面光源的问题没有解决：pbrt 把阴影光线的 $t_{max}$ 设为略小于 1（ShadowEpsilon），在光源表面之前停下。

代价与比较（6.8.8、延伸阅读）

换用这套方法后总渲染时间约增加 20%（改用双精度约增加 30%）。增加的主要不是算误差界，而是原点离表面太近，BVH 遍历时访问的节点和求交次数变多（Wächter 2008 首先指出）——这是精度的代价。
Wächter 也沿法线偏移，但偏移量是交点量级的固定比例；PBRT 的偏移是保守推导出的，而且通常更小。其他做法：忽略上一次击中的物体、root polishing（再求交一次）、换双精度。
颜色与光照计算多是正数乘积之和，项数少，灾难性抵消罕见，误差远小于蒙特卡洛方差，不需要这样处理。

不同观点并列

6.8.4 正文 vs 第 6 章最后一道习题：正文说"变换顶点到射线坐标系引入的舍入误差不影响水密性，因为所有三角形用的是同一个变换"；最后一道习题则指出平移和切变的舍入误差"破坏了当前实现的水密性"，需要在三角形包围盒中计入，并引用 Woop 等 (2013) 3.3 节给出修正。两种说法放在一起看：边函数符号检验本身是水密的，但顶点变换误差可能让交点落在 BVH 包围盒之外而被提前剔除。
"机器 epsilon"的两种定义：PBRT 6.8.1 脚注说 C/C++ 标准把机器 epsilon 定义为 1 之上一个 ulp（float 为 $2^{-23}$ ），"是数值分析通常用法的两倍"，并把 $2^{-24}$ 称为机器 epsilon。但书中误差分析所依据的 Higham《Accuracy and Stability of Numerical Algorithms》（2002）恰恰把 1 到下一个浮点数的距离 $2^{-23}$ 叫机器 epsilon，把最近舍入的最大相对误差 $2^{-24}$ 叫单位舍入误差 (unit roundoff) $u$ ；两种叫法在数值分析文献中都有人用（Wikipedia "Machine epsilon" 的 formal/mainstream 两种定义；pbrt-v4 issue #194：https://github.com/mmp/pbrt-v4/issues/194 ）。本页的 $\epsilon_m=2^{-24}$ 沿用 PBRT 的记号，对照 Higham 时应读作 $u$ ；所有误差界本身不受影响。
固定 epsilon 与保守偏移：实时光线追踪（见硬件光线追踪与路径追踪器）若用固定的 $t_{min}$ 或固定比例偏移，就是上文"传统做法"的取舍；PBRT 的保守偏移换来正确性，但要付出上文"代价与比较"所述的遍历代价。

取舍

保守误差界保证"不自相交"，但偏移太小会让遍历变慢，约 20%。
区间算术实现简单，但对高频操作（点变换）太慢、界太宽；高频路径值得手工推导。
只有交点位置需要这样认真处理；导数、纹理坐标的误差影响很小。