数值积分

游戏中的力是交互的、无法事先预测的，运动方程（常微分方程）几乎没有解析解，所以物理引擎采用数值积分：以大致恒定的时间步长 $\Delta t$ 逐步推进，由当前时刻 $t_1$ 的 $\mathbf r(t_1)$ 、 $\mathbf v(t_1)$ 和力函数 $\mathbf F(t,\mathbf r,\mathbf v)$ 求出 $t_2=t_1+\Delta t$ 时的位置与速度。衡量方法好坏看收敛性、阶、稳定性三项。显式欧拉最简单但误差大、不稳定；GEA 认为交互游戏中最常用的大概是 Verlet，尤其是速度 Verlet（GEA4 卷 II 14.4.4）。

显式欧拉 (Explicit Euler)

新手最常写的方法：把"米每秒"乘以 $\Delta t$ 变成"米每帧"，加到当前位置上（卷 II 14.4.4.1）：

$\mathbf r(t_2)=\mathbf r(t_1)+\mathbf v(t_1)\Delta t\quad(14.5),\qquad \mathbf v(t_2)=\mathbf v(t_1)+\frac{\mathbf F_{net}(t_1)}{m}\Delta t\quad(14.6)$

两种理解：

线性外推：假设步内速度恒定，用 $t_1$ 处的斜率 $\mathbf v(t_1)$ 直线外推到 $t_2$ （图 14.23）。速度大致恒定时效果尚可。
有限差分近似导数：把 $d\mathbf r/dt$ 换成 $\Delta\mathbf r/\Delta t$ ，即 $\mathbf v(t_1)\approx\frac{\mathbf r(t_2)-\mathbf r(t_1)}{t_2-t_1}$ 。只在速度恒定或 $\Delta t\to0$ 的极限下精确成立。

数值方法的三项性质

（卷 II 14.4.4.2）

收敛性 (Convergence)： $\Delta t\to0$ 时近似解是否越来越接近真实解。
阶 (Order)：误差通常正比于 $\Delta t$ 的某次幂，用大 O 记号表示；误差项为 $O(\Delta t^{n+1})$ 的方法称为 n 阶方法。注意这里的 $O(\Delta t^{n+1})$ 是单步（局部）截断误差；固定时间区间要走 $T/\Delta t$ 步，累积的全局误差是 $O(\Delta t^{n})$ ，这正是叫"n 阶"的原因（GEA 未区分两者；见 Wikipedia "Truncation error (numerical integration)"、Hairer/Nørsett/Wanner《Solving Ordinary Differential Equations I》II.3）。
稳定性 (Stability)：数值解会不会随时间"平静下来"。方法往系统里加入能量，速度最终会"爆炸"，系统不稳定；方法移除能量则有整体阻尼效果，系统稳定。

用泰勒展开求阶：精确解展开为

$\mathbf r(t_2)=\mathbf r(t_1)+\dot{\mathbf r}(t_1)\Delta t+\tfrac12\ddot{\mathbf r}(t_1)\Delta t^2+\tfrac16\mathbf r^{(3)}(t_1)\Delta t^3+\cdots$

减去显式欧拉 $\mathbf r(t_2)=\mathbf r(t_1)+\dot{\mathbf r}(t_1)\Delta t$ ，剩余误差 $E=\tfrac12\ddot{\mathbf r}\Delta t^2+\cdots=O(\Delta t^2)$ ，所以显式欧拉是一阶方法，可写成 $\mathbf r(t_2)=\mathbf r(t_1)+\dot{\mathbf r}(t_1)\Delta t+O(\Delta t^2)$ 。

其他方法

显式欧拉在游戏中常用于简单的积分任务（速度近似恒定时最好），但误差大、稳定性差，不用于通用动力学模拟。其他方法有后向欧拉（一阶）、中点欧拉（二阶）和 Runge-Kutta 家族，其中四阶 Runge-Kutta (RK4) 尤其流行。GEA 不展开这些方法，只建议从维基百科入手（卷 II 14.4.4.3）。

Verlet 积分

GEA 认为这是当今交互游戏中最常用的数值方法（卷 II 14.4.4.4）。普通 Verlet 的优点：阶高（误差小）、计算简单便宜、一步直接由加速度得到位置（不必先求速度再求位置）。推导：把向前和向后两个泰勒展开相加，奇次项相互抵消：

$\mathbf r(t_1+\Delta t)=2\mathbf r(t_1)-\mathbf r(t_1-\Delta t)+\mathbf a(t_1)\Delta t^2+O(\Delta t^4)$

其中 $\mathbf a(t_1)=\mathbf F_{net}(t_1)/m$ 。式中没有速度；需要速度时可用一个不太精确的近似： $\mathbf v(t_1+\Delta t)=\frac{\mathbf r(t_1+\Delta t)-\mathbf r(t_1)}{\Delta t}+O(\Delta t)$ 。

速度 Verlet (Velocity Verlet)

更常用。把时间步分成两半，已知 $\mathbf a(t_1)=\frac1m\mathbf F(t_1,\mathbf r(t_1),\mathbf v(t_1))$ ，分四步（卷 II 14.4.4.5）：

$\mathbf r(t_1+\Delta t)=\mathbf r(t_1)+\mathbf v(t_1)\Delta t+\tfrac12\mathbf a(t_1)\Delta t^2$
$\mathbf v(t_1+\tfrac12\Delta t)=\mathbf v(t_1)+\tfrac12\mathbf a(t_1)\Delta t$
$\mathbf a(t_2)=\frac1m\mathbf F(t_2,\mathbf r(t_2),\mathbf v(t_2))$
$\mathbf v(t_1+\Delta t)=\mathbf v(t_1+\tfrac12\Delta t)+\tfrac12\mathbf a(t_1+\Delta t)\Delta t$

第 3 步需要下一步的位置和速度。位置已在第 1 步算出，力不依赖速度时信息就齐了；力依赖速度时（如阻尼），就要先近似下一帧速度，例如用显式欧拉。

同样的方法也用于角运动方程，见刚体动力学。时间步长的选择与游戏循环的关系见物理引擎与游戏的集成和游戏循环与更新方法。

GEA 原书中的问题

式 14.6 写作 $\mathbf v(t_2)=\mathbf v(t_1)+\frac{\mathbf F_{net}(t)}{m}\Delta t$ ，力的时间参数应为 $t_1$ （显式方法用的是当前时刻的力），与 14.4.5.5 二维角动力学的写法 $N_{net}(t_1)$ 不一致（已核对渲染页：印刷页 378 式 14.6 确为 $\mathbf F_{net}(t)$ ）。