刚体动力学

基础

• 单位：多数模拟用 MKS（米、千克、秒）。换单位可以，但所有量必须一致，例如重力加速度 $g$ 也要换算；多数团队直接用 MKS（卷 II 14.4.1.1）。
• 线性与角运动可分离：无约束刚体（三轴平移 + 三轴旋转，6 DOF）的运动可以分成线性和角两部分，先当作质点求平动，再叠加转动（卷 II 14.4.1.2）。
• 质心 (CM)：对线性动力学而言，刚体就像全部质量集中在质心。均匀密度时质心是形心；一般情况下是各小块位置按质量的加权平均（极限下变成积分）（卷 II 14.4.1.3）：

$\mathbf r_{CM}=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{\sum_i m_i}=\frac{\sum_i m_i\mathbf r_i}{m}$

凸体的质心一定在体内，凹体的质心可能在体外（字母 "C" 的质心在哪？）。

线性动力学

• 位置由从世界原点指向质心的向量 $\mathbf r$ 描述；速度 $\mathbf v=\dot{\mathbf r}$，加速度 $\mathbf a=\dot{\mathbf v}=\ddot{\mathbf r}$，对向量求导就是逐分量求导（卷 II 14.4.2.1）。
• 多个力的合力就是向量和 $\mathbf F_{net}=\sum\mathbf F_i$。牛顿第二定律 $\mathbf F=m\mathbf a$（式 14.2），单位牛顿 = kg·m/s²。线动量 $\mathbf p=m\mathbf v$；质量变化时（燃料燃烧的火箭）正确形式是 $\mathbf F=\frac{d\mathbf p}{dt}=\frac{d(m\mathbf v)}{dt}$（卷 II 14.4.2.2）。

求解运动方程

• 核心问题：已知作用力，求 $\mathbf v(t)$ 和 $\mathbf r(t)$。力一般是时间、位置、速度等的函数：$\mathbf F(t,\mathbf r,\dot{\mathbf r},\ldots)=m\ddot{\mathbf r}$（式 14.3）。例：弹簧 $F=-kx$（$k$ 为劲度系数），粘性阻尼器（dashpot）$F=-bv$（$b$ 为阻尼系数）（卷 II 14.4.3.1）。
• 这是常微分方程 (ODE)：未知函数的 n 阶导数表示为时间、函数本身及更低阶导数的函数，$\ddot{\mathbf r}=\frac1m\mathbf F(t,\mathbf r,\dot{\mathbf r})$（卷 II 14.4.3.2）。
• 解析解很少见。例：恒定重力下的竖直抛体 $\ddot y=g$（$g=-9.8\,\mathrm{m/s^2}$），积分两次得 $y(t)=\frac12gt^2+v_0t+y_0$。游戏是交互的，力无法事先预测，所以通常只能数值积分；例外是求解"以多大速度发射才能命中目标"这类问题（卷 II 14.4.3.3）。数值方法见 数值积分。

二维角动力学

二维刚体可看作薄片（平面薄板），平动在 xy 平面，转动只绕 z 轴（卷 II 14.4.5）。每个线性量都有对应的角量：

• 力矩：力作用在偏离质心的点上会同时产生平动和转动。$\mathbf r$ 是从质心到作用点的向量（体空间，原点在质心）：$\mathbf N=\mathbf r\times\mathbf F$（式 14.7）。离质心越远力矩越大（杠杆原理）；穿过质心的力叉积为零，不产生转动；多个力矩可以求和。二维时力矩只有 z 分量（卷 II 14.4.5.4）。
• 二维角运动方程可以用与线性完全相同的数值方法求解，例如显式欧拉 $\omega(t_2)=\omega(t_1)+I^{-1}N_{net}(t_1)\Delta t$，$\theta(t_2)=\theta(t_1)+\omega(t_1)\Delta t$，或速度 Verlet（卷 II 14.4.5.5）。

三维角动力学

• 惯性张量：刚体绕不同轴的质量分布不同，细长杆绕长轴容易转、绕短轴难（花样滑冰收拢四肢转得更快）。三维时转动"质量"是 3×3 矩阵 $\mathbf I$，对角元素是绕三条主轴的转动惯量，非对角元素是惯性积；物体关于三条主轴都对称时（如长方体）惯性积为零。惯性积不为零时会产生物理上正确但不直观、玩家多半觉得"不对"的运动，所以游戏物理引擎常把惯性张量简化为三元向量 $[I_{xx}\ I_{yy}\ I_{zz}]$（卷 II 14.4.6.1）。这段关于主轴与惯性积的说法不准确：在主轴坐标系中惯性积恒为零，三元向量存的是主转动惯量，见文末"GEA 原书中的问题"。
• 三维朝向：欧拉角有万向节锁、数学上难用（见 欧拉角与万向节锁），所以用 3×3 矩阵或单位四元数，GEA 本章只用四元数 $\mathbf q=[\mathbf u\sin\frac\theta2,\ \cos\frac\theta2]$。还要约定零旋转（如所有物体正面朝世界 +z、y 向上、x 向左），并在所有资产中保持一致（卷 II 14.4.6.2）。
• 角速度与角动量：三维角速度是向量 $\boldsymbol\omega=\dot\theta_u\mathbf u$。不受力矩时二维角速率恒定，但三维中角速度不守恒：转轴方向会不断变化。拿一块木块抛起来转：绕最短轴或最长轴转都稳定，绕中间那根轴转就会剧烈翻滚。守恒的是角动量 $\mathbf L=\mathbf I\boldsymbol\omega$（矩阵乘法），所以模拟中以 $\mathbf L$ 为主变量，每步再由 $\mathbf L$ 求出 $\boldsymbol\omega$（卷 II 14.4.6.3）。
• 三维力矩：仍是 $\mathbf N=\mathbf r\times\mathbf F$，但总写成角动量形式 $\mathbf N=\frac{d\mathbf L}{dt}$（卷 II 14.4.6.4）。

三维角运动方程

直接照搬线性形式（$\boldsymbol\omega$ 积分、$\theta$ 加 $\omega\Delta t$）是错的，两点不同（卷 II 14.4.6.5）：

1. 求解角动量 $\mathbf L$ 而不是角速度，再用 $\boldsymbol\omega=\mathbf I^{-1}\mathbf L$ 求角速度。
2. 朝向是四元数而角速度是三维向量，不能直接写 ODE。先构造角速度四元数 $\tilde\omega=[\omega_x\ \omega_y\ \omega_z\ 0]$，则朝向四元数的导数为 $\dot{\mathbf q}=\frac12\tilde\omega\mathbf q$（四元数乘法，见 四元数）。

显式欧拉形式：

$\mathbf L(t_2)=\mathbf L(t_1)+\Delta t\sum_i\mathbf r_i\times\mathbf F_i(t_1),\quad \tilde\omega(t_2)=[\mathbf I^{-1}\mathbf L(t_2)\ \ 0],\quad \mathbf q(t_2)=\mathbf q(t_1)+\tfrac12\tilde\omega(t_1)\mathbf q(t_1)\Delta t$

朝向四元数要定期重新归一化以抵消浮点误差累积。注意 $\mathbf I$ 是世界空间张量，随朝向变化：$\mathbf I(t)^{-1}=\mathbf R(t)\mathbf I_{body}^{-1}\mathbf R(t)^T$，每步都要用当前朝向重新计算（Baraff, SIGGRAPH 2001 课程笔记；GEA 未提）。显式欧拉只是示例，真实引擎会用速度 Verlet、RK4 等更稳定、更精确的方法。

与 UE5 的对照

UE5 的刚体同样不直接用渲染网格：物理体由盒、球、胶囊或凸包等简化形状组成（Physics Asset Editor / Physics Bodies），刚体动力学提供碰撞响应、约束、阻尼与摩擦（Physics in Unreal Engine）。详见 Chaos 物理与碰撞。

GEA 原书中的问题

• 14.4.6.5 把四元数 ODE 写成 "$\frac{d\omega(t)}{dt}=\dot{\mathbf q}(t)=\frac12\omega(t)\mathbf q(t)$"，最左边应为 $\frac{d\mathbf q(t)}{dt}$；求导的是朝向四元数，不是角速度（已核对渲染页，印刷页 389）。同页线性一栏 $\mathbf v(t)=m^{-1}\mathbf p(t)$ 排成了 "$m-1\mathbf p(t)$"（上标丢失）。
• 14.4.1.3 说质心"在所有朝向下都是平衡点，换言之，刚体质量在所有方向上均匀分布在质心周围"。后半句不对：质心只满足质量一阶矩为零 $\sum_i m_i(\mathbf r_i-\mathbf r_{CM})=0$，质量分布完全可以不对称（同节自己举的字母 "C"，质心甚至在体外）；"任意朝向都平衡"也只在均匀重力场中成立（Wikipedia "Center of mass"）。
• 14.4.2.2 说质量变化（如火箭"燃料耗尽并转化为能量"）时正确的形式是 $\mathbf F=\frac{d(m\mathbf v)}{dt}$。两处都有问题：火箭损失的质量是作为排气喷出，不是"转化为能量"；而且对开放的变质量系统，$\mathbf F=\frac{d(m\mathbf v)}{dt}$ 一般不成立（不满足伽利略不变性），正确的是 $m\frac{d\mathbf v}{dt}=\mathbf F+\mathbf u_{rel}\frac{dm}{dt}$（$\mathbf u_{rel}$ 为喷出物相对物体的速度），只有喷出物相对地面速度为零时两者才一致（Wikipedia "Variable-mass system"；Plastino & Muzzio, "On the use and abuse of Newton's second law for variable mass problems", Celestial Mechanics 53, 1992）。
• 14.4.6.1 关于惯性张量：书中说对角元素是"绕三条主轴的转动惯量"，惯性积"在物体关于三条主轴都对称时为零"，非零时会产生"物理正确但不直观"的运动，所以引擎常把张量简化为三元向量。这里混淆了坐标轴与主轴：对角元素是绕当前坐标轴的转动惯量；任何刚体都有三条互相垂直的主轴，在主轴坐标系中惯性积恒为零，张量就是对角阵（这是谱定理的结果，与物体是否对称无关）。惯性积只是坐标系没对准主轴的产物，本身不会带来额外的物理效应；"不直观"的运动（如下文中间轴翻滚）来自三个主转动惯量不相等。所以引擎在体空间存三元向量并不丢失信息，前提是体坐标系取为主轴（Wikipedia "Moment of inertia" 中 Principal axes 一节；Baraff, "Physically Based Modeling: Rigid Body Simulation", SIGGRAPH 2001 课程笔记）。
• 14.4.6.4 写 $\mathbf N=\mathbf I\boldsymbol\alpha=\mathbf I\frac{d\boldsymbol\omega}{dt}=\frac{d(\mathbf I\boldsymbol\omega)}{dt}=\frac{d\mathbf L}{dt}$。中间的等号只在 $\mathbf I$ 不随时间变化时成立；世界空间的惯性张量随朝向改变（$\mathbf I(t)=\mathbf R(t)\mathbf I_{body}\mathbf R(t)^T$），一般有 $\mathbf N=\frac{d\mathbf L}{dt}=\mathbf I\dot{\boldsymbol\omega}+\boldsymbol\omega\times(\mathbf I\boldsymbol\omega)$（欧拉方程），所以 3D 中 $\mathbf N=\mathbf I\boldsymbol\alpha$ 并不成立。结论 $\mathbf N=\dot{\mathbf L}$ 本身是对的，这也正是要以 $\mathbf L$ 为主变量的原因（Wikipedia "Euler's equations (rigid body dynamics)"；Baraff 同上）。同理 14.4.6.5 的 $\boldsymbol\omega=\mathbf I^{-1}\mathbf L$ 要用当前朝向下的世界空间张量 $\mathbf I(t)^{-1}=\mathbf R\mathbf I_{body}^{-1}\mathbf R^T$，书中没有说明。