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# 拟蒙特卡洛
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图形学蒙特卡洛积分与重要性采样Monte Carlo Integration & Importance Sampling渲染方程里的半球积分没有闭式解，只能数值积分。蒙特卡洛积分在定义域里随机取样、按概率密度加权求平均，期望值正好等于积分真值，误差随样本数 N 按 1/\sqrt{N} 下降，而且与积分维数无关，所以成了光线追踪类渲染的数学基础。降低误差的主要手段是让采样分布接近被积函数的形状，也就是重要性采样（GEA4 卷 II 12.6.2、12.6.4）。游戏数学低差异序列Low-Discrepancy Sequences低差异序列 (low-discrepancy sequences) 是一类确定性的点序列，在 [0,1)^d 中分布得比随机点更均匀（星差异度 O((\log n)^d/n)），用于拟蒙特卡洛 (QMC) 积分和渲染中的采样。常见构造是基于根反演 (radical inverse) 的 van der Corput、Halton、Hammersley，以及基于二进制生成矩阵的 Sobol'。实际渲染中会对它们做随机加扰 (scrambling)（随机数字置换、Owen 加扰），既能估计方差、去掉高维投影中的规则图案，又能提高收敛率。本页以 PBRT 4e 8.5–8.7 节为主。